Steve Mould声学科普两则

Video1: Ultrasound gel does amazing things to sound waves

https://www.youtube.com/watch?v=AzZ7DjS4ti4

【官方双语】超声检查为何要涂凝胶？我做了个模型来解释_哔哩哔哩_bilibili ^[1]

Q1: How ultra-sound scanning machine work? 超声扫描如何工作？

Take pregnancy scan for example, it’s the baby that the sound waves are bouncing off, especially for the bones.

以B超为例，主要是胎儿的骨骼在反射声波。

The role of ultrasound gel: acoustic coupling, to sonically merge the probe and the human body into a single acousic entity, so that it removes the unwanted reflections.

超声凝胶的作用是声耦合，也即将探头和人体融合为单一的声学实体，去除不必要的反射波。

Q2: Why we need acoustic coupling? 为什么需要声耦合？

Sound waves are longitudinal, the vibration go in the same direction as the wave is traveling.

声波是纵波，振动和传播方向相同。

Steve’s analogous wave model is transverse, but the physics is the same.

博主的横波模型和声波的原理是一样的，他想解释声波接触到墙壁时发生的过程。

If he lock a rod in position, the wave will be reflected completely.
如果他把一根棒固定住，波全部被反射。
But the wall has a little bit of give, so he needs to add weight on the specific rods to simulate that.
但由于墙略有弹性，所以需要通过给棒加重量来模拟。
- In this case, the impulse is partially reflected and partially transmitted.
  如此，波的部分反射，部分透射。
- Notice that the more weight he give to the rods(the more different the 2 substances are), the more reflection he get and the less transmission he get.
  注意给棒加的重量越大（2种介质差异越大），反射越多，透射越少。
  - The"difference" actually refers to acoustic impedance (how much a substance resist acoustic motion)
    “差异”指的是声阻抗（衡量介质阻碍声能的能力）
  - acoustic impedance is the inverse of refractive index
    声阻抗是折射率的倒数

Z1的声波有多少进入Z2，用等式计算：

1-(\frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}})^2 =\frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^2}

例如，空气（Z2=1.4）的声波只有0.01%进入人体（Z1=0.0004），反射出人体后，这其中又只有0.06%被接收器接收。这是没有超声凝胶的情况。

The ultrasound gel removes impedance mismatch. It’s formulated to have the same acoustic impedance as the human body, so that there’e no barrier between the probe/receiver and the body.

超声凝胶消除阻抗不匹配。它的声阻抗与人体相同，消除了探头与人体间的阻抗不匹配。

省流&更正

作者的更正

我在计算没有凝胶时扫描仪效率时，算得了0.0001%，但这只是空气间隙完全存在的情况，紧贴皮肤的话效果会好一点。凝胶的作用是防止气隙，从而确保更好的声耦合，感谢评论指出。

评论区某一楼的讨论

探头和孕妇肚子之间那层空隙就足够产生超声波尺度上的“介质层”从而导致效率低下，探头在操作时是不可能用力下压的，同时孕妇的肚子具有弧度，这些都导致空气层的存在。
探头-空气-人体这个过程中，声波经过了两个介质面，一个是从高声阻到低声阻，一个是低声阻到高声阻，所以声能只有发声能量的1e-6倍。
就像CPU和散热器之间要涂硅脂，也是为了去除缝隙中的空气。超声凝胶是为了避免空气影响声阻抗，硅脂是为了避免空气影响热传导。
超声波凝胶不会是作为阻抗匹配用的(因为gel声阻抗和人体差不多)。除此之外耦合剂还有很重要的润滑作用，方便探头移动，我对使用超声波凝胶并没有疑虑，一开始的问题也是聚焦它在声学方面的用途，我赞同你说的提高信噪比这一说，空气层内多次反射形成噪声面会很大地影响成像，凝胶能很好地消除空气层，这是它最能提高成像质量的地方

问题整理

B超涉及四种介质：人体、探头（压电陶瓷）、空气、超声凝胶。

若其声阻抗分别为 $Z_{1}、Z_{2}、Z_{3}、Z_{4} \approx Z_{1}$ ，计算各情况下从探头发出的声波反射后被探头接收的效率。（传导率）

令 $T_{ij}=1-\left(\frac{Z_i-Z_j}{Z_i+Z_j}\right)^2=\frac{4Z_iZ_j}{(Z_i+Z_j)^2}$ ，则

无凝胶、全空气间隙时的效率：

Ef_{1} = \lbrace[1-(\frac{Z_{2}-Z_{3}}{Z_{2}+Z_{3}})^2] \times [1-(\frac{Z_{3}-Z_{1}}{Z_{3}+Z_{1}})^2]\rbrace^2=T_{23}^2 T_{31}^2

无凝胶、无空气间隙时的效率：

Ef_{2} = [1-(\frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}})^2]^2=T_{12}^2

有凝胶时的效率：

Ef_{3} = \lbrace[1-(\frac{Z_{2}-Z_{4}}{Z_{2}+Z_{4}})^2] \times [1-(\frac{Z_{4}-Z_{1}}{Z_{4}+Z_{1}})^2] \rbrace^2 = T_{24}^2T_{14}^2 \approx Ef_{2}

作差：

Ef_{3}-Ef_{1} \approx Ef_{2}-Ef_{1} = \left[\frac{4Z_1Z_2}{(Z_1+Z_2)^2}\right]^2 - \left[\frac{16Z_1Z_2Z_3^2}{(Z_2+Z_3)^2(Z_1+Z_3)^2}\right]^2

因式分解：

Ef_2-Ef_1 = \frac{ 16Z_1^2Z_2^2 (P-Q)(P+Q)(P^2+Q^2) }{ (Z_1+Z_2)^4(Z_1+Z_3)^4(Z_2+Z_3)^4 }

其中

P=(Z_1+Z_3)(Z_2+Z_3) , Q=2Z_3(Z_1+Z_2)

而

P-Q= (Z_1+Z_3)(Z_2+Z_3)-2Z_3(Z_1+Z_2) = Z_1Z_2-Z_1Z_3-Z_2Z_3+Z_3^2 = (Z_3-Z_1)(Z_3-Z_2)

其余因子均为正，所以

\operatorname{sgn}(Ef_2-Ef_1) = \operatorname{sgn}\left[(Z_3-Z_1)(Z_3-Z_2)\right]

在 $Z_{1}<Z_{3}<Z_{2}$ 的情况下（人体&凝胶1.6MRayl，探头估算为PZT的30MRayl，空气400Rayl），【有凝胶（ $Ef_3=0.037$ ）】相对于【无凝胶、全空气间隙（ $Ef_1=2.8*10^{-15}$ ）】确实能显著起到提升效率的作用。

但问题在于：

引入超声凝胶前，是否应该认为空气间隙完全存在？真实情况的探头可以紧贴人体，Ef应该在Ef1和Ef2之间，但很难计算。
凝胶声阻抗设计得与人体一致，那它的实际作用就不叫“阻抗匹配”，而是排除空气间隙，作为耦合剂消除空气和人体、探头之间的阻抗失配。

我的思考

如果从把探头和人体之间的声阻抗匹配做到最优、增加传导率的目的出发，应该怎么设计Z4?

要让 $Ef_3=\left[\frac{4Z_2Z_4}{(Z_2+Z_4)^2}\cdot \frac{4Z_4Z_1}{(Z_4+Z_1)^2}\right]^2$ 最大，等价于最大化单程透射项 $T=\frac{4Z_2Z_4}{(Z_2+Z_4)^2}\cdot\frac{4Z_4Z_1}{(Z_4+Z_1)^2}$ 。