电工学：正弦交流电路

第四章正弦交流电路

正弦电源激励。

正弦电压、正弦电流

i=I_msin(\omega t+\phi)

$I\_m$ ：幅值amplitude

$\omega$ ：角频率angular frequency

$\phi$ ：初相位initial phase angle

瞬时值：小写字母表示，如i, u, e

最大值（幅值）：大写字母+下标m，如 $I\_m, U\_m, E\_m$

有效值：从电流的热效应规定。 $\int_0^TRi^2=RI^2T$ ，当i为正弦量时， $I=\frac{I_m}{\sqrt2}$ ，U和E同理

相量：正弦量的复数表示法

正弦量的表示方法：

三角函数法
波形图
向量法—用复数的方法表示正弦量
- 旋转的有向线段
  - 长度：幅值
  - 与横轴夹角：初相位
  - 旋转角速度：角频率
  - 在纵轴上的投影：瞬时值

复数A的表示方法：

代数式： $A=a+jb$
三角式： $A=r(cos\phi+jsin\phi)$
指数式： $A=re^{j\phi}$
极坐标式： $A=r\angle \phi$
复数的加减运算：代数式
复数的乘除运算：指数式极坐标式
- 模与模相乘除
- 幅角与幅角相加减

为与复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量，并在大写字母上打一 “•”。例如 $\dot{I}, \dot{U}$ 。

正弦值 $i=I\_msin(\omega t+\phi)$ 的相量式为：（下式中 $I$ 为有效值）

\dot{I}=I(cos\phi+jsin\phi)=Ie^{j\phi}=I\angle\phi

**复数 j 的含义：**90° 旋转因子。一个相量（代数式中）乘上+j 则旋转+90°；乘上-j 则旋转- 90°。

复数的其他表示方法同理：

\pm j=e^{\pm j90^\circ}=cos90^\circ \pm jsin90^\circ

相量图：

只有正弦周期量才能用相量表示；
只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上；
相量是表示正弦交流电（瞬时值）的复数，正弦交流电是时间的函数，二者之间并不相等。
可以用于同频相量的定性分析。

精确运算例题总结：

虽然一般都是对有效值变换计算（需经 $\dot{I}=\frac{I\_m}{2}$ 之变换），但是也可以直接对 $I\_m$ 的表示方法转换后计算。

u(t)=\sqrt2 Usin(\omega t+\phi) \space , \space\space \dot{U}=U\angle{\phi}

单一参数的交流电路

主要分析参数两端的电压，其上的电流，消耗的功率。

电阻

电压与电流同频率、同相位；
- 大小关系： $U=RI$
- 相量表达式： $\dot{U}=R\dot{I}$
瞬时功率 $p=ui=UI(1-cos2\omega t)$
- 平均功率 $P=I^2R$
- 转换成热能 $W=P t$

电感

电感L： $L=\frac{N\phi}{i}$ ，单位亨利(H)或毫亨(mH)
- 感应电动势 $e\_L$ ： $e\_L=-L\frac{di}{dt}$
- KVL： $u+e\_L=0$ ， $u=L\frac{di}{dt}$
电压电流关系
- 设 $i=I_msin(\omega t+\phi)$
- 则 $u=L\frac{di}{dt}=\omega I_mLsin(\omega t +90\degree)=U_msin(\omega t +90\degree)$
- 其中 $U_m=\omega L I_m=X_LI_m$ $U_{m} = ω L I_{m} = X_{L} I_{m}$
  - $X_L=\omega L=2\pi fL$ 称为感抗
  - 根据此关系，电感两端施加一定电压时，该电压频率f越大（直流稳态电源相当于 $f=0Hz$ ），产生的感抗 $X_L$ 越大，电流 $I_m=U_m/X_L$ 越小。故而电感元件表现为“通直隔交“。
  - 单位： $\Omega=Hz\*H$
- 电压超前电流 $\frac{\pi}{2}$ $\frac{π}{2}$
  - 大小关系： $U=X_LI$ ，幅度、有效值之比为 $X_L=\omega L$
  - 相量式： $\dot{U}=jX_L\dot{I}$ ，角度上U超前I90°（j）
  - 注： $u/i$ (瞬时值之比） $≠X_L$
瞬时功率 $p=ui=Li\frac{di}{dt}=UIsin2\omega t$
- 平均功率P=0（亦称有功功率）
- 无功功率Q
  - 电感元件的交流电路中，没有能量消耗，只有电源与电感之间的能量交换。这种能量交换的规模用无功功率Q衡量。规定Q为瞬时功率 $q\_L$ 的幅值（即 $UI$ ）。它并不代表单位时间内互换了多少能量。单位为乏(var)或千乏(kvar)。
  - $Q=UI=X_LI^2=U^2/X_L$
储存的磁场能
- $\int_0^tuidt=\int_0^iLidi=\frac{1}{2}Li^2$
- L是储能元件

电容

电容： $C=\frac{q}{u}$ ，单位法拉(F）
- 感应电流 $i=C\frac{du}{dt}$
电压电流关系
- 设 $u=U\_msin\omega t$
- 则 $i=C\frac{du}{dt}=\omega U_mCsin(\omega t+90\degree)=I\_msin(\omega t+90\degree)$
- 其中 $I_m=\omega CU_m=\frac{U_m}{X_C}$ $I_{m} = ω C U_{m} = \frac{U _{m}}{X _{C}}$
  - $X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi f C}$ 称为容抗
  - 据此关系，电压有效值一定时，f越大，容抗 $X_C$ 越小， $I_m$ 越大。故电容元件表现为通交隔直。
- 电流超前电压 $\frac{\pi}{2}$ $\frac{π}{2}$
  - 大小关系： $U=X_CI$ ，幅度、有效值之比为 $X_C=1/\omega C$
  - 相量式： $\dot{U}=-jX_C\dot{I}$ ，角度上U落后I90°（-j）
  - 注： $u/i$ (瞬时值之比） $≠X_C$
瞬时功率 $p=ui=UIsin2\omega t$
- 平均功率P=0
- 无功功率 $Q=-UI=-X_CI^2$ $Q = - U I = - X_{C} I^{2}$
  - 本来L取i初相位为0，C取u初相位为0，各不相同。但无功功率这里为了方便比较，C也取i初相位为0。

三合一：阻抗的串并联

阻抗：R, L, C的串联

例：R, L, C串联，以 $i=I\_msin\omega t$ 为参考正弦量：

\begin{align}
u=RI_msin\omega t+\omega L \\
I_msin(\omega t+90\degree)+\frac{I_m}{\omega C}sin(\omega t-90\degree)=U_{Rm}sin\omega t=U_{Lm}sin(\omega t+90\degree)+U{Cm}sin(\omega t-90\degree)=U_msin(\omega t+\phi)
\end{align}

阻抗：KVL的向量表示式